‏إظهار الرسائل ذات التسميات فيزياء نظرية. إظهار كافة الرسائل
‏إظهار الرسائل ذات التسميات فيزياء نظرية. إظهار كافة الرسائل

الاثنين، 15 أغسطس 2016

مبدأ الفعل الأدنى (الاقتصاد في الحركة): Principle of Least Action


إذا تُرك أي نظام ميكاميكي (فيزيائي) وشأنه، بين لحظتين زمنيتين، فإنه يسلك بينهما المسار الذي يحقق له أدنى (فعل) Action، أي المسار الأكثر اقتصاداً. ووُجد أن هذا (الفعل) Action هو التكامل الأدنى (أي: الأشد كسلاً) لـ دالة مُوَلِّد معادلة الحركة، ويعطى بالمعادلة:
{\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,
(حيث L هي الدالة المولدة lagranian، و S هو "الفعل")

وتتحقق له أدنى قيمة إذا ظلت قيمته على حالها بأدنى إنزياح عن هذا المسار؛ أي إذا تحققت لهذا (الفعل) المعادلة الآتية:
\delta {\mathcal {S}}=0
_____________________________________________________________________

ملاحظات:
1- في الميكانيكا التقليدية، تُعطى دالة المُولِّد بالفرق بين طاقة الحركة وطاقة الوضع.
L=T-V


2- إذا ما غُذيت هذه الدالة في معادلات لاجرانج Lagrange's equations (الآتية)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\partial q_j}  
فإنها تُنتج معادلة حركة النظام التي ترسم المسار الذي يسلكه.

 3- يرتبط (مبدأ الفعل الأدنى) بشدة بـ (مبدأ الزمن الأدنى principle of least time) والذي يلتزم به شعاع الضوء في تعيين المسار الذي يسلكه، والذي يُسمى أيضاً بمبدأ فيرمات (Fremat's Principle) نسبة إلى العالم الفرنسي فيرمات.
_____________________________________________________________________

مراجع:

1- Principle of Least Action.  (ScholarPedia)
2- 

ليست هناك تعليقات:
التسميات: ,

مُولِّد معادلات الحركة Lagrangian

إذا أمكن الوصول إلى دالة function في أي نظام ميكانيكي؛ منفصل discrete أو متصل continuous، بحيث تُوَلِّد هذه الدالة معادلات الحركة في هذا النظام بتطبيق مبدأ الفعل الأدنى (الكسل) least action عليها، عندئذ تسمَّى هذه الدالة مولِّد (معادلات الحركة) Lagrangian.
_____________________________________________________________________

ملاحظات:
1- في الميكانيكا الكلاسيكية تُعطى هذه الدالة (المولِّد L) بالمعادلة الآتية:
{\displaystyle L=T-V}
حيت T هي طاقة الحركة، و V هي طاقة الوضع.

2- إذا طبقنا مبدأ الفعل الأدنى (الكسل) least action على دالة المولد L (قبل معرفة شكلها)، نحصل على المعادلات العامة الشهيرة بمعادلات لاجرانج Lagrange، والمكتنزة في الشكل الآتي:
 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\partial q_j}
(حيث q = الإحداثيات x, y, z، وحيث q' هي السرعات في اتجاه نفس الإحداثيات)
فإذا علمنا شكل دالة المولد (مثل: L=T-V في ميكانيكا نيوتن)، وعوضنا عنها في معادلات لاجرانج هذه، نحصل على معادلات الحركة مباشرة، والتي أهمها قانون نيوتن الثاني في الميكانيكا الكلاسيكية والقائل بأن القوة المؤثرة على جسم تعمل على تغير زخمه (كمية حركته) مع الزمن F=dp/dt، أو بعبارة أخرى أن عجلة الجسم تتناسب مع القوة المؤثرة عليه F= mdx/dt، حيث m هو ثابت التناسب، وباختيار وحدات القياس يمكن مساواته بها.

3- سميت دالة مولد معادلات الحركة: بالـ "لاجرانجيان" lagrangian، وسًمِّيت معادلات الحركة المكتنزة: بـ "معادلات لاجرانج" lagrange's equations نسبةً إلى العالم الفرنسي Joseph-Louis Lagrange.
_____________________________________________________________________




ليست هناك تعليقات:
التسميات: ,

الأحد، 14 أغسطس 2016

نظرية مُتَعَدِّيَة المعيار Gauge Theory

تعتبر النظرية مُتَعَدِّية المعيار gauge theory نوع من نظريات المجال field theories، إذا تحقق لها عدم تغيُّر معادلات الحركة بتغير معيار الراصد.
_____________________________________________________________________

 ملاحظات:
1- قصدنا بـ (مُتَعَدِّيَة المعيار) أنها تصح لكل راصد له معياره، وتتعداه إلى غيره من الراصدين ذوي معايير منزاحة عن معيار الأول، بلا تمييز لأي من الراصدين عن الآخر.
2- وقصدنا بـ (تغير معيار الراصد) تغير الإحداثيات، لأن لكل راصد إحداثياته، وذلك بالتحول من أحدها إلى الآخر بمعادلات تحويل مستمرة بين إحداثيات متعددة للراصد الواحد.
3- وقصدنا بعدم تغير invariance معادلات الحركة عدم تغير "مولد هذه المعادلات" lagrangian، لأن تغيُّر المولِّد ينتج عنه تغير المعادلات. والمقصود من عدم التغير أن المعادلات لا تكترث بوضعية الراصد. فالراصدون القصوريون (أي الذين يتحركون بسرعات ثابتة) جميعهم يشتركون في استخدام نفس المعادلات، أيَّاً كانت سرعة الراصد منهم.

_____________________________________________________________________




ليست هناك تعليقات:
التسميات: ,
الاشتراك في: الرسائل (Atom)